Xét (O) có

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

=>CD\(\perp\)DB tại D

=>CD\(\perp\)AB tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>BE\(\perp\)EC tại E

=>BE\(\perp\)AC tại E

Xét ΔABC có

BE,CD là đường cao

BE cắt CD tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

a) Xét (O) có 

ΔDBC nội tiếp đường tròn(D,B,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔDBC vuông tại D(Định lí)

⇒CD⊥BD tại D

⇒CD⊥AB tại D

⇒HD⊥AD tại D

Xét ΔADH có HD⊥AD tại D(cmt)

nên ΔADH vuông tại D(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔADH vuông tại D(cmt)

mà DI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)

nên \(DI=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(1)

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp đường tròn(B,E,C∈(O))

BC là đường kính(gt)

Do đó: ΔBEC vuông tại E(Định lí)

⇒BE⊥CE tại E

⇒BE⊥AC tại E

⇒HE⊥AE tại E

Xét ΔAEH có AE⊥EH tại E(cmt)

nên ΔAEH vuông tại E(Định nghĩa tam giác vuông)

Ta có: ΔAEH vuông tại E(cmt)

mà EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH(I là trung điểm của AH)

nên \(EI=\dfrac{AH}{2}\)(Định lí 1 về áp dụng hình chữ nhật vào tam giác vuông)(2)

Từ (1) và (2) suy ra ID=IE

hay I nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)

Ta có: OD=OE(=R)

nên O nằm trên đường trung trực của DE(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)

Từ (3) và (4) suy ra OI là đường trung trực của DE

hay OI⊥DE(đpcm)

I là điểm nào ạ?

a: Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

=>CE\(\perp\)AB

Xét (O) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBFC vuông tại F

=>BF\(\perp\)AC

XétΔABC có

CE,BF là đường cao

CE cắt BF tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

b: Xét ΔAEC vuông tại E và ΔAFB vuông tại F có

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔAEC ~ΔAFB

=>\(\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(AE\cdot AB=AC\cdot AF;\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

c: Xét ΔAEF và ΔACB có

\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AF}{AB}\)

\(\widehat{FAE}\) chung

Do đó: ΔAEF~ΔACB

=>\(\widehat{AEF}=\widehat{ACB}\)

d: Xét tứ giác AEHF có

\(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

=>AEHF là tứ giác nội tiếp

=>A,E,H,F cùng thuộc một đường tròn

a: Xét (O) có 

ΔBDC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBDC vuông tại D

Xét (O) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó: ΔBEC vuông tại E

Xét ΔABC có 

BE là đường cao

CF là đường cao

BE cắt CF tại H

Do đó: AH⊥BC

hay AF⊥BC

a:

góc BDC=góc BEC=1/2*sđ cung BC=90 độ

=>CD vuông góc AB và BE vuông góc AC

Xét ΔABC có

CD,BE là đường cao

CD cắt BE tại H

=>H là trực tâm

=>AH vuông góc BC

b: góc AEH+góc ADH=180 độ

=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

c: góc BDC=góc BEC=90 độ

=>BDEC nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>O là trung điểm của BC

d: ID=IE

OD=OE

=>OI là trung trực của DE

=>OI vuông góc DE